Bilhete de Regresso

Está visto que ninguém quer regressar à Terra.
Cambada de anjinhos!

A resposta parece tão óbvia.
A probabilidade de o bilhete estar em qualquer uma das duas portas é de 50%.
Portanto, é completamente irrelevante trocar ou não de porta.
A probabilidade é igual para ambas as hipóteses.

Mas…
Estão preparados?
Surpresa!
A resposta intuitiva está errada.

Estavam avisados: "A primeira resposta que você der provavelmente estará errada."

Eu arrisco!
E para duplicar a probabilidade de ganhar o bilhete troco sempre de porta.
Pois é, ao trocar de porta, em de vez 1/3 passo a ter 2/3 de hipóteses de acertar.

Vamos supor que:

Ao escolher uma das portas há 1/3 de probabilidade de ganhar o bilhete.
Essa probabilidade não muda após o S. Pedro abrir uma das portas (destino Inferno).
As duas portas (não escolhidas) em conjunto têm 2/3 de probabilidade de ocultarem o bilhete.
Quando o S. Pedro abre uma dessas portas (porque não tem o bilhete), a outra porta (não escolhida) passa a ter 2/3 de probabilidade de ser a que oculta o bilhete.
Logo é sempre mais vantajoso trocar de porta.

Ainda não está convencido(a)?

A confusão neste problema surge porque a sua intuição o(a) engana.
Quando o S. Pedro abre uma das portas você pensa estar perante um novo dilema.
Aparentemente as suas hipóteses subiram de 1/3 para 1/2. Com duas portas (50% de hipóteses para cada uma) parece-lhe indiferente trocar ou manter a escolha inicial.
Na realidade, ao abrir uma porta, ele não está a criar um novo dilema, está apenas a dar-lhe informações sobre o problema original.
O importante aqui é você saber, e nunca esquecer, que:
À priori a probabilidade de o bilhete estar numa das portas não escolhidas é de 2/3.
E essa probabilidade não se altera quando se abre uma das portas. Está apenas condicionada.
A porta que o S. Pedro abrir, dependerá (sempre) da porta que você escolher inicialmente.
Ele nunca abrirá a porta com o bilhete. (ele sabe à priori qual a porta onde está o bilhete)

Agora que esclarecemos este ponto (espero), vamos às explicações:

Explicação 1
Vejamos as suas hipóteses:
Hipótese 1: o bilhete está na porta A
Hipótese 2: o bilhete está na porta B

Hipótese 3: o bilhete está na porta C

Vamos supor que a sua escolha é a porta A.
Se a sua estratégia for:
1) Manter a escolha inicial - só ganhará o bilhete no 1º caso. (1/3 das vezes)
2) Trocar de porta - ganha o bilhete nos casos 2 e 3. (2/3 das vezes)
Portanto é mais vantajoso efectuar a troca.

Continua incrédulo(a)?

Explicação 2
À partida as três portas têm probabilidades iguais de sucesso, 1/3 para cada uma delas.
A probabilidade de escolher a porta com o bilhete é de 1 em cada 3 vezes.
E de 2 em cada 3 para a escolha de uma porta que vai dar ao Inferno.
As probabilidades são: 1/3 para uma escolha acertada e 2/3 para uma escolha errada.
Se decidir trocar a porta escolhida inicialmente: 1 em cada 3 vezes irá para o Inferno e 2 em cada 3 ganhará o bilhete de regresso à terra.
Vejamos a coisa na seguinte perspectiva:
1) Se inicialmente escolher uma porta errada (probabilidade 2/3), ao trocar ganha sempre.
2) Se inicialmente escolher a porta certa (probabilidade 1/3), ao trocar vai para o Inferno.
Ou seja, se trocar de porta a probabilidade de ganhar é de 2/3. E se não trocar de apenas 1/3.

Voltando a supor que você escolhe a porta A.
(a probabilidade de acertar é de 1/3 e a de errar de 2/3)
1) Se esta for a porta errada, o bilhete estará numa das portas que você não escolheu, porta B ou C (probabilidade conjunta 2/3). Ao trocar será sempre para uma porta onde estará o bilhete.
Supondo que o bilhete está na porta B.
Neste caso o S. Pedro não tem opção de escolha e terá obrigatoriamente de abrir a porta C.
A porta C ao ser aberta (fica com probabilidade zero), implica que a probabilidade da porta B passe a ser de 2/3.
2) A sua escolha foi acertada, o bilhete está na porta A (probabilidade 1/3), ao trocar será sempre por uma porta com destino ao Inferno.
Só neste caso é que a troca não compensa. É indiferente a porta que o S. Pedro vai abrir, ele pode abrir qualquer uma das portas ainda fechadas.

Assim, se a sua estratégia for trocar de porta a probabilidade de ganhar é de 2/3. Se optar por manter a escolha inicial a probabilidade de ganhar é de apenas 1/3.

Já está convencido(a)?

Nota: O post continua em aberto para colocar novas "explicações"